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来源:新闻爱好者 【在线投稿】 栏目:综合新闻 时间:2022-12-07

【作者】:网站采编
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【摘要】:冠以“素数定理”的这个命题,受到了高斯、勒让德、狄利克雷、黎曼、切比雪夫、塞尔贝格、埃尔特希(Paul Erdos )和阿达玛等众多数学家的重视。 不管谁

冠以“素数定理”的这个命题,受到了高斯、勒让德、狄利克雷、黎曼、切比雪夫、塞尔贝格、埃尔特希(Paul Erdos )和阿达玛等众多数学家的重视。 不管谁证明了

素数定理,都将得到永生。

数学家几千年来一直对素数的相关猜想着迷,前赴后继有很多数学家都在这些关于素数的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想都是关于素数规律的猜想。数学家们一直苦于没有找到一个素数公式,导致这些猜想依旧是世界难题,至今没有解决。

黎曼猜想,通往质数的征途

1900年,大数学家希尔伯特(Hilbert)在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题,它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁,值千禧年之际,美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题,并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。

当我们回顾这次跨越时空的呼应时,却发现有一个共同的问题,并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程,它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之处,竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕?在它那里,又藏着怎样惊世骇俗的秘密?破译这样一个难题,真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗?

1.质数探索

在自然数序列中,质数就是那些只能被1和自身整除的整数,比如2,3,5,7,11等等都是质数。4,6,8,9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积,因此在某种程度上,质数构成了自然数体系的基石,就好比原子是物质世界的基础一样。

人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期,彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数,但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入,人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数,在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后,给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后,又再次扬长而去。

1737年,瑞士的天才数学家欧拉(Euler)发表了欧拉乘积公式。在这个公式中,如鬼魅随性的质数不再肆意妄为,终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。

沿着欧拉开辟的这一战场,数学王子高斯(Gauss)和另一位数学大师勒让德(Legendre)深入研究了质数的分布规律,终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率,且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后,质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。

2.横空出世

虽然符合人们的期待,质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差,且偏差情况时大时小,这一现象引起了黎曼的注意。

其时,年仅33岁的黎曼(Riemann)当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报,同时为了表达自己的感激之情,他将一篇论文献给了柏林科学院,论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里,黎曼阐述了质数的精确分布规律。

没有人能预料到,这篇短短8页的论文,蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧,以至今日,人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。

3.黎曼Zeta函数

黎曼在文章里定义了一个函数,它被后世称为黎曼Zeta函数,Zeta函数是关于s的函数,其具体的定义就是自然数n的负s次方,对n从1到无穷求和。因此,黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而,遗憾的是,当且仅当复数s的实部大于1时,这个无穷级数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。

为了研究Zeta函数的性质,黎曼通过围道积分的对该函数做了一个解析延拓,将s存在的空间拓展为复数平面。

研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点,并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点,这被称为平凡零点;另一类是Zeta函数自身的零点,被称为非平凡零点。针对非平凡零点,黎曼提出了三个命题。

第一个命题,黎曼指出了非平凡零点的个数,且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

第二个命题,黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

第三个命题,黎曼用十分谨慎的语气写到:很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线,从此被称为临界线。而最后这个命题,就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。

文章来源:《新闻爱好者》 网址: http://www.xwahzzz.cn/zonghexinwen/2022/1207/1329.html

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